本文简要介绍一下如何使用 GeoGebra 绘制平面图形. 因为是可视化操作, 大多数操作都可以通过段鼠标点击来完成, 所以下面主要给出一些例子, 具体的功能不再介绍.
GeoGebra 是什么
以下摘自于GeoGebra官网
GeoGebra 是一款适用于各级教育的动态数学软件, 它将几何, 代数, 表格, 绘图, 统计和微积分整合到一个引擎中. 此外, GeoGebra 还提供了一个在线平台, 其中包含由多语言社区创建的超过 100 万个免费课堂资源. 这些资源可以通过我们的协作平台 GeoGebra 教室轻松共享, 在那里可以实时监控学生的进度.
GeoGebra 是一个拥有数百万用户的社区, 几乎分布在每个国家. 它已经成为全球领先的动态数学软件提供商, 支持科学, 技术, 工程和数学(STEM)教育以及教学创新. GeoGebra 的数学引擎以不同的方式, 从简单的演示到完整的在线评估系统, 为全球数百个教育网站提供动力.
GeoGebra 的使用
GeoGebra 经典
GeoGebra 同时提供在线版本(Web端)和客户端. 不经常使用的话, 可以使用在线版本.
其主页如下
左上角提供了一些资源和教程等链接, 右上角可以登录账号, 下方是侧重点不同的应用的地址, 包括3D计算器, 几何, GeoGebra 经典等.
建议注册一个账号, 方便把绘制的图像保存在账号中, 以备后续修改或使用, 也便于分享给其他人.
绘制平面图形通常使用GeoGebra 经典, 其操作界面如下
- 左上方是工具栏, 可以移动画布, 然后是点, 线, 关系线, 多边形, 圆, 圆锥曲线, 角度, 对称, 文本等操作集合.
- 左侧显示画布上的元素列表, 同时还有输入框, 支持输入公式.
- 中间部分是画布, 是绘制图形的容器.
- 右侧提供了文件保存, 导出, 视图等功能, 可以将绘制的图形导出为图片. 视图功能可以选择显示代数区, 绘图区等小窗口.
绘制图形
坐标轴和网格
画布默认显示坐标轴和辅助网格线. 可以右键取消.
使用工具栏绘图
GeoGebra 左上方工具栏提供了各种点线面的功能, 可以轻松绘制平面图形. 例如选择圆锥曲线工具栏, 点击椭圆, 左下角便会提示先选择两个焦点, 然后选择椭圆上的一个点, 这样就确定了一个椭圆曲线.
需要注意的是, 椭圆曲线绘制完成后, 如果不点击其它按钮, 此时画布仍然是绘制椭圆的环境, 可以继续选点绘制椭圆曲线.
点击左上方工具栏第一个箭头按钮可以移动画布, 也可以移动画布上的所有元素. 鼠标滚轮可以对画布进行缩放. 点击右下角房子形状的按钮, 可以使原点居中. 双击画布上的元素, 可以修改其部分属性, 如坐标, 文本等.
元素属性
上面绘制椭圆以后, 左侧栏显示三个点的坐标和椭圆曲线的方程, 它们都是单独的元素或者对象, 可以分别设置它们的样式, 如点的大小, 颜色, 填充样式; 线的颜色, 粗细, 填充.
可以点击左侧栏元素框的左端圆圈将其隐藏, 或者鼠标右键元素框对其属性进行设置, 还可以双击元素框修改点的坐标等. 如下图所示
另外, 当画布上元素很多时, 我们也可以直接点击图形中的元素对其进行属性设置
每次添加添加新的元素都会显示它的标签, 通常来说, 这个标签不需要显示. 我们可以修改全局设置, 添加元素时不显示标签, 如下所示
全局设置中还可以设置精度, 字号等.
输入表达式绘图
使用工具栏提供的操作绘图虽然比较方便, 但是不精确. 如果想要绘制精确的图形, 需要使用手动输入表达式来绘制图形. 熟练的话, 手动输入也会很快.
点击输入框之后, 会弹出一个符号面板, 可以点击面板上的函数或者键盘输入都可以. 注意, 如果把符号面板关闭, 可以点击左下角的键盘符号将其打开.
绘制显函数曲线
可以看到输入框支持只输入函数的右端(含$x$的表达式). 另外, 元素框左端圆圈的颜色对应曲线的颜色(颜色是随机分配的)
绘制隐函数曲线
滑动块
点击左上角工具栏倒数第二个按钮, 可以添加滑动块. 我们使用滑动块绘制椭圆上的点 $P$ 与焦点 $F_1,F_2$ 的连线随 $P$ 的运动而运动.
这里滑动块对应的变量名可以被引用, 因此我们用其定义 $P$ 点坐标. 然后又利用线段工具, 分别连接 $P$ 和两个焦点. 之后对滑动块开启动画即可.
标签
标签是绘图中不可缺少的. GeoGebra虽然会自动为各元素分配标签, 但是往往不是我们想要的. 因此我们通常将其自动生成的标签隐去, 使用 Geogebra 的文本按钮手动添加标签.
这里有两点需要注意. 首先是添加文本时, 要区分文字与数学符号或者数学公式. 视频中, 我们添加的 $F_1$ 和 F2显示是不同的. 数学符号或者公式显示为斜体. 如何输入数学公式我们后面再详细介绍. 另外一点是, $P$ 点是变动的, 因此其标签位置不能固定, 需要将标签位置坐标设置在 $P$ 的动态坐标附近.
双击添加的标签可以修改其内容, 也可以使用拖动功能移动标签的位置.
LaTex 公式
添加标签时, 如果是数学符号或者公式, 需要点击 LaTex公式按钮. 下面是一些常用的 LaTex 公式对照表.
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| a, P, F, Q | $a, P, F, Q$ |
| a^2, A^2, A^{12}, A^{x+y} | $a^2, A^2, A^{12}, A^{x+y}$ |
| a_1, A_1, A_{12}, A_{x+y} | $a_1, A_1, A_{12}, A_{x+y}$ |
| a_1^2, a_{12}^{x+y} | $a_1^2, a_{12}^{x+y}$ |
| \frac{3}{4}, \frac{x^2}{a^2}, \frac{3(x+y)}{4(x-y)}, a^{\frac{1}{3}} | $\frac{3}{4}, \frac{x^2}{a^2}, \frac{3(x+y)}{4(x-y)}, a^{\frac{1}{3}}$ |
| \geq, <, >, \leq, = | $\geq, <, >, \leq, =$ |
| \alpha, \beta, \gamma, \delta | $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ |
| a\in A, B\subset A | $a\in A, B\subset A$ |
| |AB| | $|AB|$ |
| \sqrt{a+b} | $\sqrt{a + b}$ |
| \overline{PQ} | $\overline{PQ}$ |
还有一些辅助输入的网站, 如latexlive.
文件保存
前面我们已经提到, 图形绘制完成后, 可以通过右上角工具栏将其导出为图片. 这里一般不通过截图, 因为导出图片比截图更加清晰.
如果绘图中使用了滑动条, 并且图形是动图, 那么需要使用第三方录屏工具来保存图片, 因为 GeoGebra 不支持导出动图. 下面是一个第三方gif录制软件, 比较小巧好用.
另外, 也可以保存源文件(文件后缀为.ggb), 后续可以继续用GeoGebra打开并修改. 当然, 最方便的方法是注册一个账号, 在线保存即可.
一些例子
椭圆的离心率
可视化当椭圆逐渐变圆的过程中, 离心率 $e$ 的变化.
标签中的本文可以引用已经定义的变量, 会显示变量对应的数值.
心形曲线
双曲线
在线资源
GeoGebra首页资源中, 有非常多别人分享的图形. 首页搜索框可以直接搜索别人分享的绘图, 可以打开查看, 修改, 保存.
GeoGebra可以绘制很多复杂, 酷炫的图形和效果.